☆ Lois de Bernoulli de paramètres différents

Soit  \(n\)  un entier naturel non nul. On considère  \(n\)  variables indépendantes  \(X_1\) ,  \(X_2\) , ...,  \(X_n\)  suivant des lois de Bernoulli de paramètres respectifs  \(p_1\) ,  \(p_2\) , ...,  \(p_n\) .

On note alors  \(m_n=\dfrac{p_1+p_2+\dots +p_n}{n}\)  et  \(M_n=\dfrac{X_1+X_2+ \dots +X_n}{n}\)

1. Que vaut  \(E(M_n)\)  ?

2. Montrer que, pour tout entier naturel  \(k\)  compris entre 1 et  \(n\) , on a  \(V(X_k) \leqslant \dfrac{1}{4}\) .

3. En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à  \(M_n\) , montrer que, pour tout réel strictement positif  \(\delta\) , on a  \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}P(|M_n-m_n|\geqslant \delta)=0\) .